di Marco Marchetti
INTRODUZIONE
« Per ogni matematico
esiste un senso di infinito
nel dar la caccia ai numeri
già sfuggenti di per sé ... »
Per ogni matematico
Angelo Branduardi, cantautore
À1 = 2À0
Ipotesi del continuo
Georg Cantor (1845 - 1918), matematico
Dopo un ricovero durato
sette mesi presso la Halle Nervenklinik, una clinica psichiatrica
universitaria della città tedesca di Halle, il 
6 gennaio 1918 un attacco cardiaco
pose fine alla vita terrena di Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor, uno dei più grandi matematici dell'ottocento. Cantor fu
il padre della teoria degli insiemi, che costituisce le
fondamenta della matematica, e fu il primo studioso
dell'infinito; grazie a lui l'infinito fu portato da una
dimensione mistico-religioso ad una dimensione puramente
matematica.
Al momento della morte,
però, il grande studioso era l'ombra di se stesso; era un uomo
stanco, distrutto nel fisico e, soprattutto, nella mente poiché
aveva da tempo perso il lume della ragione. Non era la prima 
volta che veniva ricoverato alla Halle
Nervenklinik; altre volte era stato ricoverato e poi dimesso e i
suoi problemi mentali erano iniziati molto prima del suo primo
ricovero. La patologia era una profonda depressione con manie di
persecuzione; le cause dell'insorgere della malattia sono
sconosciute. Forse il rapporto con un padre autoritario che
pretendeva da lui sempre il massimo, forse la frustrazione di
avere sempre insegnato in una università (quella di Halle) non
di prima grandezza, forse l'attesa snervante per una chiamata a
ricoprire una cattedra in una università più prestigiosa (una
cosa che lui sentiva disperatamente di meritare) che non arrivò
mai o forse i violenti scontri con matematici più influenti e
potenti che gli boicottarono sistematicamente l'accesso alle
università più famose e la pubblicazione dei suoi lavori (il
più feroce fu Leopold Kronecker (1823 - 1891) il quale
considerava Cantor "un corruttore della gioventù").
Non sappiamo come nacquero i problemi
psichiatrici di Cantor; oltretutto le cartelle cliniche sono
andate perdute. Solo una cosa è certa: durante i periodi di
tempo che precedettero tutti i suoi ricoveri Cantor stava
lavorando intensamente all'ipotesi del continuo, un
difficilissimo problema che riguarda la natura matematica
dell'infinito. L'infinito ha fatto vacillare le menti di
scienziati e filosofi fin dai tempi di Zenone di Elea (489 aC -
430 aC), noto per i suoi famosi paradossi, e non si lascia domare
tanto facilmente. Forse è proprio qui che bisogna indagare per
capire che cosa è successo a Cantor: l'infinito potrebbe avere
reclamato la sua vittima.
A quest'uomo e a tutti coloro che hanno messo a repentaglio la propria salute fisica e mentale per il bene della scienza è dedicata la presente monografia.
L'INFINITO NELLA REALTÀ
Credo che tutti noi abbiamo provato un senso di infinito tutte le volte che abbiamo alzato gli occhi al cielo durante una notte buia, senza Luna e soprattutto senza luci artificiali. L'immensità e la bellezza del cielo stellato ci danno l'impressione che il cosmo non abbia mai fine e che si estenda all'infinito in tutte le direzioni. Scientificamente parlando, le prime ipotesi sulla struttura dell'universo in cui viviamo furono formulate durante la prima metà del secolo scorso. Furono due le teorie che si contendevano le luci della ribalta: la Teoria dello Stato Stazionario e la Teoria del Big Bang.
Secondo la Teoria dello Stato Stazionario l'universo è infinito nello spazio ed eterno nel tempo e le sue caratteristiche sono sempre le stesse; l'universo non è mai nato, mai morirà, esiste da sempre ed esisterà per sempre senza cambiare mai.
Al contrario, secondo la Teoria del Big Bang l'universo nacque poco meno di quattordici miliardi di anni fa a partire da una specie di grande esplosione (il Big Bang, Grande Scoppio in inglese) durante la quale si originarono spazio, tempo, materia ed energia. Secondo questa teoria l'universo non è infinito nello spazio nè tantomeno eterno nel tempo.
Qualsiasi teoria che intenda spiegare la struttura dell'universo deve fare i conti con la sua espansione. Nel 1929 il grande astronomo americano Edwin Hubble scoprì che l'universo si sta espandendo allo stesso modo con cui si espande un palloncino di gomma in cui venga pompata dell'aria.
La scoperta
dell'espansione dell'universo è un indizio importante a favore
della Teoria del Big Bang; infatti se l'universo si sta
espandendo vuol dire che in passato era più piccolo. Quindi,
immaginando di tornare indietro nel tempo, noi vedremmo un
universo sempre più piccolo fino a quando tutta la materia e
l'energia attuali erano confinati in un volume molto piccolo. Per
la teoria del Big Bang la scoperta dell'espansione sembra proprio
essere la ciliegina sulla torta. Però anche la Teoria dello
Stato Stazionario riesce a convivere, anche se un po' a fatica,
con l'espansione.
C'è comunque un grosso problema. Se l'universo si espande la
materia diventa sempre più rarefatta e quindi la densità
dell'universo tende a diminuire. La teoria, però, sostiene che
le caratteristiche generali dell'universo sono sempre le stesse;
di conseguenza la Teoria dello Stato Stazionario è costretta ad
ipotizzare una creazione continua di materia, che avverrebbe
negli spazi intergalattici, per mantenere invariata la densità.
Se la Teoria dello Stato
Stazionario è quella giusta l'universo è infinito sia nello
spazio che nel tempo. Ma che cosa significa un universo infinito
nello spazio e nel tempo?
L'infinito non è semplicemente un numero grande, smisuratamente
grande, talmente grande da sfidare qualsiasi immaginazione:
l'infinito è qualcosa di concettualmente diverso. Analogamente
un universo infinito nello spazio ed eterno nel tempo è un posto
decisamente fuori dal comune in grado di sfidare anche la più
fervida immaginazione e di far vacillare anche la mente più
solida.
IL PARADOSSO DELLA REPLICAZIONE INFINITA
Immaginiamo un universo infinito spazialmente cioè un universo che si estende all'infinito in qualunque direzione lo si osservi. Supponiamo di muoverci lungo una direzione qualsiasi a velocità altissima; dopo un tempo infinitamente grande avremo percorso una distanza infinitamente grande ma davanti a noi avremo ancora una lunghezza infinita.
In un universo del genere qualunque cosa che ha una seppur minima probabilità di accadere deve accadere non una ma infinite volte; questa conclusione ha delle conseguenze veramente inquietanti. Vediamo un esempio: il famoso paradosso della replicazione infinita.
La probabilità che esista un'altra Terra con una copia di noi stessi che in questo momento stanno facendo le stesse cose che stiamo facendo noi ora è molto bassa ma non è zero. Di conseguenza, se l'universo è infinito, da qualche parte esiste sicuramente una copia della Terra con una copia di noi stessi che in questo momento stanno facendo le stesse cose che facciamo noi ora. Inoltre di queste copie non ne esiste una sola ma ne devono esistere infinite. Ma non è finita qui poiché continuando il ragionamento sulle probabilità ci accorgiamo che non solo devono esistere infinite copie della Terra con infinite copie di noi stessi che in questo momento stanno facendo le stesse cose che stiamo facendo noi ora ma devono per forza esistere anche infinite copie della Terra con infinite copie di noi stessi che in questo momento stanno facendo tutto ciò che non facciamo noi ora.
Ovviamente esisteranno infinite copie di noi stessi a qualunque età e quando noi non ci saremo più continueranno ad esistere infinite copie di noi stessi a qualunque età. Da questo punto di vista ognuno di noi vivrà per sempre.
Questo vale per noi e vale anche per tutti i mondi e per tutti gli esseri viventi, intelligenti o meno, che popolano il cosmo.
Immaginiamo adesso un universo eterno, cioè infinito nel tempo come quello ipotizzato dalla Teoria dello Stato Stazionario. Ovviamente il paradosso della replicazione infinita opera anche nella dimensione temporale: qualunque cosa che ha una seppur minima probabilità di accadere deve essere accaduta infinite volte nel passato e accadrà infinite volte nel futuro. Nulla è originale in un universo del genere: tutto è già accaduto infinite volte.
Se la vita ha una probabilità non nulla di nascere ed evolversi allora ciò deve essere già accaduto infinite volte. Questo ragionamento porta alla conclusione che un universo eterno dovrebbe letteralmente pullulare di vita (intelligente o meno); dovremmo quindi incontrare extraterrestri in ogni dove. Il fatto che di extraterrestri non ne abbiamo ancora incontrato alcuno potrebbe indicare il fatto che l'universo non è eterno oppure costituire un ulteriore paradosso.
Il paradosso della replicazione infinita e il suo universo popolato di cloni ha turbato il sonno di molti pensatori. Infatti il paradosso pone tutta una serie di problematiche che sconfinano persino nell'etica e nella religione. Che succederebbe se un giorno dovessimo incontrare un nostro sosia? Che dire del martirio di Gesù Cristo? Se è accaduto una volta sulla Terra è sicuramente accaduto infinite volte in infiniti altri posti. Perché adoperarci per fare del bene e per cercare di costruire una società più giusta quando in infiniti altri posti infinite copie di noi stessi agiscono in maniera esattamente opposta?
Si capisce allora che molti scienziati e filosofi farebbero volentieri a meno del paradosso della replicazione infinita. La maniera più semplice per evitare il paradosso è ammettere che l'universo sia finito sia nello spazio che nel tempo; se nonostante tutto l'universo dovesse essere infinito possiamo consolarci con il fatto che grazie alla finitezza della velocità della luce noi vedremmo una porzione di universo comunque finita. Inoltre la distanza che dovremmo percorrere per imbatterci in un nostro sosia oppure in una copia della Terra o addirittura in una copia della nostra porzione di universo è veramente molto ma molto grande, immensamente più grande delle dimensioni dell'universo osservabile.
Ma l'universo è davvero infinito? Non è che ci stiamo fasciando la testa prima di essercela rotta? Prima di cercare di rispondere a questa domanda andiamo a scoprire qualche altra proprietà dell'infinito, questa volta dell'infinito matematico. In altre parole andiamo a conoscere alcune delle più importanti scoperte di Cantor; prepariamoci poiché sono in arrivo altre sorprese.
L'INFINITO IN MATEMATICA
« Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo. »
Leopold Kronecker (1823 - 1891), matematico
« La teoria di Cantor è una malattia, un bizzarro stato di malessere
dal quale la matematica un giorno guarirà. »
Attribuita ad Henry Poincarè (1854 - 1912), matematico
« Nessuno ci caccerà dal paradiso che Georg Cantor ha aperto per noi. »
David Hilbert (1862 - 1943), matematico
Cantor è stato il padre della teoria degli insiemi; ad un certo punto della sua carriera il grande matematico cominciò a rivolgere la sua attenzione verso gli insiemi infiniti, cioè verso gli insiemi con un numero infinito di elementi.
L'insieme infinito con cui tutti noi abbiamo sicuramente avuto a che fare è la sequenza
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
cioè l'insieme dei cosiddetti numeri naturali che tutti quelli della mia generazione hanno imparato a conoscere e maneggiare durante la prima elementare. Una delle prime cose che si imparano è che la sequenza dei numeri naturali non ha fine; in altre parole non esiste un numero più grande di tutti gli altri. Infatti comunque grande si immagini un numero, è sufficiente aggiungere uno per ottenere un numero ancora più grande. L'insieme dei numeri naturali è quindi un insieme con un numero infinito di elementi.
Poniamoci adesso la seguente domanda: è più grande l'insieme di tutti i numeri naturali oppure l'insieme dei soli numeri naturali pari? Visto che i numeri pari sono la metà degli altri numeri la risposta sembra ovvia: l'insieme di tutti i numeri. In realtà se osserviamo con attenzione la prossima figura notiamo che i numeri pari possono essere messi in corrispondenza uno a uno con gli altri numeri.
1
------> 2
2 ------> 4
3 ------> 6
4 ------> 8
5 ------> 10
6 ------> 12
. ------> ..
. ------> ..
Questo vuol dire che i due insiemi sono uguali! Lo stesso dicasi per i numeri dispari, i quadrati, i numeri divisibili per 10, etc, etc. Da questo semplice esempio emerge una importantissima proprietà degli insiemi infiniti: in un insieme infinito ogni parte di esso è uguale al tutto.
Adesso prendiamo in considerazione l'insieme dei numeri frazionari, denominati numeri razionali poiché si possono esprimere come il rapporto fra due numeri interi (per semplicità consideriamo solo i numeri positivi):
1/7, 4/5, 2/3, 456/11, 57/12345, ...
Anche l'insieme dei numeri razionali è infinito poiché i suoi elementi sono tutte le possibili combinazioni di coppie di numeri interi anch'essi infiniti. A questo poniamoci la seguente domanda: è più grande l'insieme dei numeri naturali oppure l'insieme dei numeri razionali? Visto che l'insieme dei numeri razionali comprende tutte le possibili combinazioni di coppie di numeri interi può sembrare a prima vista che esso debba essere molto più grande. In realtà Cantor ha dimostrato che è possibile mettere in corrispondenza uno a uno i numeri razionali con i numeri naturali quindi i due insiemi sono uguali. Osserviamo attentamente la figura seguente: è una tabella a due dimensioni in cui sono elencati tutti i numeri razionali. Seguendo il percorso indicato dalle frecce vediamo che è possibile metterli in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali senza perderne nemmeno uno.
Nonostante le apparenze l'insieme dei numeri razionali è grande quanto l'insieme dei numeri naturali.
Adesso prendiamo in considerazione i numeri irrazionali, così chiamati poiché non è possibile esprimerli come rapporto fra due numeri interi. Uno dei numeri irrazionali più noto è la radice quadrata del numero 2:
Per quanti sforzi noi
facciamo, non riusciremo mai a trovare all'interno dell'insieme
dei numeri naturali (che ricordiamo è infinito) due numeri il
cui rapporto fornisce la radice quadrata di 2. La dimostrazione
di questo fatto, che è considerata una delle più belle
dimostrazioni di tutta la matematica, è riportata nell'appendice
A.
I numeri irrazionali sono caratterizzati da una sequenza infinita
e casuale di numeri dopo la virgola; l'insieme dei numeri
razionali più quello dei numeri irrazionali costituisce
l'insieme dei numeri reali.
A questo punto ci chiediamo nuovamente: è più grande l'insieme dei numeri reali oppure l'insieme dei numeri naturali? Come al solito i due insiemi sono uguali se riusciamo a mettere in corrispondenza uno a uno i numeri reali con i numeri naturali. Cantor ha dimostrato che ciò è impossibile.
Vediamo come ha fatto; la
tecnica è sorprendentemente semplice.
Cantor ragionò in questo modo: ammettiamo che i due insiemi
siano uguali, ammettiamo cioè che sia possibile mettere in
corrispondenza uno a uno i numeri reali con i numeri naturali. Se
è possibile facciamolo.
Elenchiamo allora tutti i numeri reali e mettiamoli in
corrispondenza uno a uno con i numeri naturali.
0,25647865432...
-> 1
0,08789086543... -> 2
0,13145654328... -> 3
4,56913534267... -> 4
9,74534209872... -> 5
0,93956478236... -> 6
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Quando abbiamo finito costruiamo un numero irrazionale nel seguente modo: prendiamo la prima cifra del primo numero e le sommiamo uno, poi la seconda cifra del secondo numero e le sommiamo uno, la terza cifra del terzo numero e le sommiamo uno e così via.
1,14047...
Per come l'abbiamo costruito, questo nuovo numero irrazionale è sicuramente diverso da tutti gli altri e quindi, cosa più importante, non ha un corrispondente numero naturale associato. Questo vuol dire che i numeri reali non possono essere messi in corrispondenza uno a uno con i numeri naturali poiché sono più numerosi; in altre parole l'insieme dei numeri reali è più grande dell'insieme dei numeri naturali.
In questo modo Cantor dimostra che non esiste un solo tipo di infinito ma esistono più tipi di infinito; abbiamo infatti l'infinità dei numeri naturali e un altro tipo di infinità, quella dei numeri reali, molto più grande, cioè più densa, della precedente.
In realtà Cantor dimostrerà in seguito che esistono infiniti tipi di infinito (vedi appendice B).
A questo punto Cantor
decide di mettere ordine a questi infiniti e cerca di capire in
che rapporto stanno l'uno con l'altro. In particolare cerca di
dimostrare che l'infinità dei numeri reali segue immediatamente
quella dei numeri naturali allo stesso modo in cui il numero 2
segue immediatamente il numero 1. Questa congettura è stata
chiamata ipotesi del continuo (Continuum Hypothesis).
É l'inizio della fine poiché da questo momento il demone della
depressione e della pazzia comincia lentamente ma inesorabilmente
ad impadronirsi della mente di Cantor.
Dopo qualche tempo da
quando aveva iniziato a lavorare sull'ipotesi del continuo Cantor
era raggiante poiché diceva di avere trovato una dimostrazione
molto elegante sulla veridicità dell'ipotesi del continuo; aveva
persino avvisato il suo editore della prossima uscita di un
articolo su questo argomento.
Poi arriva la delusione poiché Cantor scopre una dimostrazione
altrettanto valida della falsità dell'ipotesi del continuo. Cosa
sta succedendo? Una congettura non può essere vera o falsa allo
stesso tempo. Questo fallimento precede il primo attacco
depressivo che 
però Cantor riesce a superare
senza ricoveri.
Dopo la guarigione Cantor riprenderà a lavorare sull'ipotesi del continuo e gli attacchi depressivi diventeranno sempre più forti e frequenti e cominceranno i ricoveri presso la Nervenklinik. Dopo ogni ricovero Cantor era sempre più fuori di sé: cominciarono le manie di persecuzione (era convinto che qualcuno volesse avvelenarlo) e per lunghi periodi di tempo abbandonò la matematica per cercare di dimostrare che l'autore originale delle opere di William Shakespeare (1564 - 1616) era Francesco Bacone (1561 - 1626). Nei periodi di lucidità continuava a lavorare e a disperarsi sull'ipotesi del continuo.
Negli ultimi anni della
sua vita si convinse che l'ipotesi del continuo non era una
congettura matematica bensì una verità assoluta rivelatagli
direttamente da Dio e che l'Onnipotente aveva scelto lui, Georg
Cantor, per annunciarla agli uomini. Il triste epilogo della vita
di Cantor l'abbiamo già conosciuto.
Purtroppo il grande
matematico si era imbattuto in un problema impossibile da
risolvere.
Nel 1935 Kurt Godel (1906 - 1978), uno dei più grandi matematici
e logici del Novecento, dimostrò che la nostra matematica è
incompleta; in altre parole Godel dimostrò che, all'interno di
essa, esistono congetture indecidibili, cioè congetture di cui
non è possibile dimostrarne la veridicità o la falsità. É il
prezzo che la matematica deve pagare per la sua coerenza: se la
matematica fosse completa non sarebbe coerente. L'ipotesi del
continuo è una di queste congetture e questo venne
definitivamente dimostrato nel 1963 da Paul Cohen (1934 - 2007),
allora giovane matematico dell'Università di Stanford.
All'interno della nostra matematica l'ipotesi del continuo era e continua ad essere un mistero. Ma tutto questo Cantor non poteva saperlo.
L'UNIVERSO È DAVVERO INFINITO ?
Oggi la Teoria dello Stato Stazionario è stata praticamente abbandonata poiché gli indizi a favore della Teoria del Big Bang sono diventati sempre più forti e numerosi. Sembra quindi scongiurata la possibilità di un universo infinito e dello spiacevole paradosso della replicazione infinita. Ma l'infinito è un osso duro e non è facile sbarazzarsene; può capitare che dopo averlo visto uscire dalla porta lo si veda rientrare dalla finestra.
Abbiamo già accennato al fatto che, a prescindere dal fatto che l'universo sia infinito oppure no, noi comunque ne vediamo sempre e comunque una porzione finita che chiamiamo universo osservabile; ciò accade poiché la luce si propaga con una velocità finita, molto grande ma comunque finita. Quindi l'universo osservabile è quella porzione di universo dalla quale la luce, dopo l'inizio dell'espansione, ha avuto il tempo di raggiungere la Terra.
Esiste allora la possibilità che l'universo osservabile non sia una regione significativa dell'universo globale; in altre parole è possibile che l'universo che si trova al di là del nostro orizzonte visivo sia del tutto diverso da quello che si trova al di qua. Fino al 1980 questa possibilità non era mai stata presa seriamente in considerazione dagli astronomi; dopo tutto non c'era alcuna ragione per credere che l'universo osservabile differisse troppo da quello non osservabile.
Nel 1980, però, le cose cambiano.
Per porre rimedio ad alcune grosse lacune della Teoria del Big
Bang che rischiavano di affossarla, Alan Guth (1947), allora
giovane fisico statunitense della Stanford University, propose la
Teoria dell'Inflazione.
La teoria ipotizza che, durante le primissime fasi di vita dell’universo, sia esistito un breve periodo di tempo in cui l’espansione abbia subito una fortissima accelerazione come se fosse improvvisamente apparsa una potentissima forma di antigravità; durante questo intervallo di tempo l’universo aumentò in maniera smisurata le proprie dimensioni. Questo fenomeno è stato chiamato inflazione, un termine preso a prestito dalle scienze economiche che sta ad indicare il deprezzamento della moneta.
L’inflazione ebbe una durata brevissima, poche infinitesime frazioni di secondo, ma l’universo aumentò le proprie dimensioni di una fattore 1060 (dieci seguito da sessanta zeri); in altre parole alla fine del periodo inflattivo l’universo era un milione di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi volte più grande. Dopo l’inflazione l’universo riprese ad espandersi come descritto dalla teoria classica del Big Bang fino ai giorni nostri. La teoria dell'inflazione è oggi accettata dalla maggioranza degli scienziati ed ha ricevuto numerose conferme sperimentali.
Di conseguenza l'universo osservabile, con i suoi cento miliardi di galassie e diecimila miliardi di miliardi di stelle, è solo una microscopica parte dell'intero cosmo poiché ha avuto origine da una infinitesima frazione dell’universo pre-inflazione; le proporzioni fra universo osservabile e universo globale potrebbero essere le stesse che intercorrono fra un atomo e la nostra galassia.
La Teoria dell'Inflazione ci da un buon motivo per credere che al di là dell'universo osservabile le condizioni siano molto diverse dalle nostre. Infatti, visto che viviamo in una microscopica porzione dell'universo globale, è praticamente impossibile che l'universo osservabile sia una regione rappresentativa dell'intero universo. Inoltre non è neppure detto che l'inflazione abbia agito nello stesso identico modo in tutto l'universo; potrebbero esistere zone che hanno subito una massiccia dose di inflazione e altre che ne hanno subito molto meno.
Ed ecco allora che il fantasma dell'infinito rientra dalla finestra. Infatti, se siamo condannati a vivere in una regione sicuramente non rappresentativa dell'universo, esiste la concreta possibilità che non riusciremo mai a scoprire le proprietà dell'universo in cui viviamo e, in particolare, se l'universo è infinito oppure no.
Può darsi che l'universo sia infinito o può darsi che non lo sia; questo è un segreto che l'universo custodisce con la massima attenzione.
EPILOGO
Dopo i suoi lavori sull'incompletezza della matematica, Kurt Godel fu irresistibilmente attratto dalle problematiche dell'infinito e cominciò a lavorare sull'ipotesi del continuo. Mentre Cantor cercava di dimostrarne la veridicità o la falsità, Godel cercò di studiarne il rapporto con il resto della matematica.
È curioso notare che dal momento in cui
Godel affrontò lo studio dell'ipotesi del continuo cominciò a
soffrire degli stessi disturbi mentali che avevano afflitto
Cantor.
Godel cadde in profonde
depressioni e fu anch'egli ricoverato in clinica; poi si mise in
testa che qualcuno stava avvelenando l'aria del proprio
appartamento poiché diceva di sentire aria cattiva (forse era il
fumo delle sigarette di sua moglie).
Col passare del tempo si convinse che il grande matematico
Goffried Leibniz (1646 - 1716) non era l'autore delle scoperte
attribuitegli e impiegò anni per cercare di dimostrarlo
(analogamente a quello che cercò di fare Cantor con
Shakespeare); poi cominciò a sospettare che qualcuno lo volesse
avvelenare e pretese che la moglie assaggiasse le vivande prima
di lui fino a quando cominciò a rifiutare gradualmente il cibo.
Morì di fame nel 1978.
Che ironia della sorte!
Uno dei più grandi logici e matematici di tutti i tempi che
muore in modo così illogico: per paura di morire avvelenato si
lascia morire di fame!
Forse è tutta una coincidenza. Forse. O forse la maledizione
dell'infinito ha colpito un'altra volta.
Per i più curiosi ...
APPENDICE A : il ragionamento per assurdo e la radice quadrata di 2
Elevando al quadrato ambo i membri della precedente espressione otteniamo:
APPENDICE B : l'ipotesi del continuo
l'insieme dei suoi sottoinsiemi è il seguente:
{Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
À0, À1, À2, À3, À4, À5, À6, ...
che è la forma matematica dell'ipotesi del continuo.
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