Se a qualcuno di noi capitasse di essere seguito, magari di notte, da uno di questi personaggi, per esempio in una strada un pò buia o dentro alla metropolitana, certamente la cosa non farebbe piacere. Affretteremmo il passo e cercheremmo scampo in un luogo sicuro. Il sospetto di trovarsi di fronte a gente poco rassicurante, forse un maniaco, sarebbe forte. Ma non motivato se non dalle apparenze esteriori, spesso ingannevoli. Lombroso avrebbe scritto fior di trattati solo su queste due immagini. Niente di più sbagliato. I personaggi fotografati a fianco sono quanto di più alto l’umanità abbiaprodotto negli ultimi anni.

Il primo è Henri Poincaré, nato a Nancy il 28 / 4 / 1854 e morto a Parigi il 17 / 7 / 1912. E’ stato uno dei più grandi matematici, fisici, astronomi, filosofi che la scienza francese abbia dato al mondo. Viene definito anche un precursore della teoria della relatività generale. Non si accontentò solo di allargare le conoscenze in campo matematico con teorie nuove e rivoluzionarie ma si interessò anche delle implicazioni che queste sue teorie avrebbero potuto avere nel campo della fisica e della meccanica. Ricoprìdiverse cattedre universitarie tra cui quella di Calcolo della Probabilità e quella di Fisica Matematica. Fu candidato ben 12 volte al premio Nobel ma a causa della sua scarsa attitudine alla attività sperimentale ed anche alla precocità delle sue teorie non lo vinse mai. Ancora oggi detiene il primato della media dei voti al concorso per l’ammissione all’Ecole Polytechnique. Parleremo più avanti della sua vita e del suo contributo nel campo scientifico.

Il libro che quì presentiamo rivolge l’interesse ad alcuni studi di Poincaré sulla topologia, in particolare ad alcuni strumenti matematici ideati da lui stesso, quali l’omologia, per indagare sulle relazioni che esistono tra “varietà” a due, tre o più dimensioni. Attraverso studi, scoperte, ideazioni di nuovi strumenti matematici Poincarè arriva ad ipotizzare quanto segue:

“Ogni 3-varietà (varietà a tre dimensioni), semplicemente connessa, chiusa, ossia compatta e senza bordi, è omeomorfa ad una sfera tridimensionale.”

Ci si rende subito conto che tale affermazione è per addetti ai lavori e può essere compresa solo da un matematico esperto. Poincaré non ha mai dichiarato esplicitamente di credere a tale affermazione che per questo motivo è passata alla storia come la congettura di Poincaré.

In parole “relativamente” più semplici questo equivale a dire che la sfera a tre dimensioni sarebbe l’unica varietà tridimensionale “senza buchi”, cioè dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto. La congettura generalizzata alle n dimensioni viene espressa dai matematici così:

““…Ogni varietà chiusa n dimensionale omotopicamente equivalente alla n-sfera è omeomorfa alla n-sfera…”

Sembra una affermazione indecifrabile e lontana da noi comuni mortali tanto da lasciarci indifferenti. Il fatto è che tale congettura, dimostrata o smentita, avrebbe delle ricadute inimmaginabili in campo scientifico e matematico arrivando addirittura ad indicarci quale forma potrebbe avere il nostro universo o quale sicuramente non potrebbe avere.

La congettura di Poincaré è stata considerata il più grande problema di topologia insoluto del XX secolo. Fu risolta nel 2002 da Grigori Perelman. E’ lui il secondo personaggio delle nostre foto.

Grigori 'Grisha' Yakovlevich Perelman (in russo: Григорий Яковлевич Перельман), è un matematico russo nato a San Pietroburgo (già Leningrado) il 13 giugno 1966. Ancora giovane studente vinse una medaglia d’oro per il più alto punteggio alle olimpiadi della matematica. Laureatosi a S. Pietroburgo ha successivamente lavorato presso diverse università, anche americane come il MIT. Tornato in patria nel 1996 non ha fatto più parlare di sé limitandosi a lavorare all’Istituto Steklov, chiuso e schivo fino alla paranoia.

Nel novembre 2002, ha pubblicato su internet sul sito web arXiv il primo di una serie di saggi con i quali intendeva dimostrare la Congettura sulla geometrizzazione di Thurston, risultato che comprende come caso particolare la Congettura di Poincaré.

Molti matematici avevano tentato una dimostrazione senza successo tanto che il Clay Mathematics Institute aveva promesso una ricompensa da un milione di dollari per tale dimostrazione.

Perelman utilizza per la sua dimostrazione l’ ”equazione del flusso di Ricci”. Dopo una conferenza memorabile in cui illustra la sua dimostrazione il suo lavoro viene esaminato da una commissione. Nell'agosto del 2006 i numerosi matematici che hanno seguito il suo lavoro hanno completato una documentazione di oltre 1000 pagine in cui è spiegata passo per passo la dimostrazione completa della congettura di Poincaré fatta da Perelman. A causa del carattere particolare di Perelman, della sua indole e del suo spirito idealista nascono subito dei problemi per l’assegnazione del premio. Qualcuno ha dei dubbi sul fatto che possa essere attribuita allo studioso sia la medaglia Fields sia il premio milionario dell'Istituto Clay.

La medaglia Fields è definita spesso come il "premio Nobel della matematica". Le medaglie Fields vengono assegnate per un insieme di lavori omogenei, piuttosto che per un risultato particolare, benché sia opinione diffusa che alcuni teoremi possono e dovrebbero essere riconosciuti meritevoli della medaglia (infatti nel passato alcune assegnazioni hanno suscitato vivaci discussioni). In verità, il matematico russo è sempre stato uno specialista dei gran rifiuti. Già in passato, nei primi anni '90, Perelman rifiutò un premio dalla European Mathematical Society. "La giuria è incompetente", fu la sprezzante motivazione di Perelman. Disse no anche alla prestigiosa rivista "Nature" che voleva intervistarlo, roba da sconcertare i suoi colleghi che invece avrebbero fatto i salti mortali per un "botta e risposta" su quelle pagine. Niente. Inoltre non ha mostrato mai interesse alla pubblicazione della dimostrazione della congettura in una rivista matematica, come invece richiesto dalle attuali regole del premio Clay.

A sorpresa, il 22 agosto 2006 Grigori Perelman ha annunciato di rifiutare la medaglia Fields e il premio in denaro per la dimostrazione della congettura. Nello stesso anno si è anche dimesso dal suo posto a San Pietroburgo, e vive quindi con la madre in una casa popolare, una khrusciovka, uno di quelle costruzioni popolari che Nikita Kruscev fece edificare per dare alloggio alle famiglie sovietiche, lontano da università e interviste, e con la sua pensione come unica fonte di sostentamento.

In una intervista precedente, ha spiegato la sua scelta così: "Non voglio essere uno scienziato da vetrina e troppi soldi in Russia generano solo violenza". A San Pietroburgo dopo qualche giorno cominciarono a circolare t-shirt nere con il ritratto di Perelman. Sotto, una scritta: "Respect" in inglese. Sulle spalle, in russo, si legge: "Non tutto si compra".

Nel giugno del 2007 è stato visto e fotografato di nascosto nella metropolitana della sua città apparendo negli scatti con i capelli arruffati, la barba incolta e vecchie scarpe.

Lo scopo di questo recensione non è quello di illustrare e spiegare la congettura di Poincarè né tanto meno la dimostrazione fatta da Perelman, irraggiungibili per i non addetti ai lavori. La nostra intenzione è quella di raccontare una pagina importante della scienza matematica, fatta da idee e scoperte ma soprattutto fatta da uomini.

Scheda del libro

TITOLO: La congettura di Poincarè

AUTORE: Donal O’Shea

EDITORE: Rizzoli

PAGINE: 360

Strutturato in :

• Prefazione
• 15 Capitoli
• Note esplicative ( circa 60 pagine)
• Letture consigliate
• Ringraziamenti

Donal O’Shea è il decano dei docenti e vicepresidente per gli Affari Accademici del Mount Holyoke College dove ricopre anche la cattedra di matematica. Divulgatore scientifico, ha scritto diversi libri e monografie ed ha pubblicato articoli e raccolte di saggi su numerose riviste. Vive attualmente nel Massachusetts.

Tutto il libro ruota su un solo problema matematico formulato più di cento anni fa da Henri Poincarè, matematico francese. Questo problema, come tanti altri del resto, ha affascinato e tormentato i matematici fino ai giorni nostri. In realtà il libro racconta anche la storia di tutta quella matematica che sta dietro sia all’ipotesi di Poincaré che alla sua dimostrazione. Come sempre accade questa storia comincia con l’uomo e risale a migliaia di anni fa. E’ una storia che può essere fatta partire dalla Babilonia di 5000 anni fa ed arrivare alla S. Pietroburgo e a New York dei nostri anni. Questo è l’aspetto più affascinante del libro. Spesso la gente comune ha una visione romantica dell’attività scientifica. Si ha sempre l’immagine dello scienziato come quella di “... un genio solitario che combatte strenuamente per strappare il sapere ad un universo che di lui non si cura. …. Ma per quanto i geni possano essere figure misteriose e pittoresche, il progresso matematico dipende anche da migliaia di altri individui e dalle istituzioni e società in cui essi vivono e lavorano.”

Chi può leggere questo libro dunque? Tutti, senza avere però la pretesa di penetrare completamente i concetti matematici di cui si parla.

Lo stesso autore, anche se scrive:

“... Per alcuni ci sarà troppa matematica e per altri troppo poca, ma la maggior parte delle persone con almeno un diploma di scuola media superiore alle spalle sarà in grado di seguire i concetti fondamentali del libro, anche se i punti più sottili sono un pò impegnativi. E’ possibile comprendere e apprezzare i segreti di questa famosa congettura anche se non si è in grado di fare i calcoli in prima persona.…”

sembra non crederci fino in fondo e riserva uno spazio in proporzione minore ai concetti matematici rispetto a quello che dedica alla storia di queste idee e degli uomini che le hanno prodotte. Lui stesso in seguito afferma:

“… Dopotutto la congettura di Poincaré ha dato filo da torcere ai migliori matematici del mondo per gli ultimi cent’anni.”

E più avanti, a proposito di un particolare aspetto matematico della congettura, ribadisce:

“ ... con un paio d’anni di corsi matematici universitari alle spalle, un po’ di algebra lineare e tre semestri di calcolo infinitesimale e possibile dimostrare che ...”

Quanto basta per non avvilirsi di fronte alla scarsa comprensibilità della congettura e della sua dimostrazione.

La congettura di Poincaré però, pur essendo un problema di natura squisitamente matematica,ci offre addirittura gli strumenti concettuali e matematici per interrogarci sulla possibile forma dell’universo. Questo per noi è un problema attuale e stringente analogamente a quello, in passato, di definire la forma della nostra Terra.

Donal O’Shea dedica un intero capitolo, molto godibile, al racconto di come l’uomo sia riuscito nel corso dei secoli a ipotizzare una forma per il mondo in cui viviamo, a come sia stato spesso costretto a cambiare opinione. Si parla dei greci, di Pitagora, delle varie altre scuole di pensiero. Si arriva a Cristoforo Colombo. Anche solo al tempo di Colombo, per esempio, non si era sicuri che la Terra fosse finita. E lo stesso Colombo alla fine dei suoi anni dovette ricredersi sulla forma perfettamente sferica della terra ammettendo un configurazione leggermente a pera.

Dal capitolo successivo, il terzo, Donal O’Shea si addentra in problemi di topologia e geometria non sempre accessibili ai matematici non professionisti. Vengono illustrate le proprietà topologiche della sfera e del toro, nelle tre dimensioni ma anche oltre arrivando a formulare ipotesi sulla forma dell’universo.In questo caso ci troviamo nella stessa situazione di Colombo nel 1492: allora non c’erano atlanti completi della terra così come oggi non esiste una mappa completa dell’universo.

Donal O’Shea afferma che:

“Per quel che sappiamo, se lasciassimo la Terra a bordo di un’astronave ultraveloce e viaggiassimo in una direzione fissa dopo moltissimo tempo dovremmo ritornare dove siamo partiti.... questa affermazione non è meno sensata di quella avanzata da Eratostene o 17 secoli dopo da Colombo secondo cui salpando dalla Spagna e navigando sempre verso ovest ritorneremmo infine a casa. E, proprio come ai temi di Colombo, ci sono stime contrastanti sulla distanza che dovremmo percorrere prima di fare ritorno.”

Forse è impossibile ipotizzare un simile viaggio con qualunque tipo di astronave anche in futuro ma non è inimagginabile che tale viaggio lo faccia al posto nostro, per esempio, un raggio di luce. E su questi aspetti pratici infatti si sta attualmente lavorando in astronomia.

La congettura di Poincaré fa ipotesi sull’esistenza di strutture in cui un qualunque cammino chiuso può essere ridotto ad un solo punto. Esistono tante possibili varietà tridimensionali a cui il nostro universo potrebbe assomigliare.

Si tratta di un problema che riguarda la topologia, nota come la matematica del “foglio di gomma” perché studia tutte le possibili deformazioni di una figura disegnata su un foglio di gomma. Più precisamente studia le proprietà che rimangono immutate quando si deforma una figura sottoponendola a torsione, stiramento o compressione: in topologia è irrilevante che una figura sia quadrata o rotonda, grande o piccola, poiché possiamo modificare le sue caratteristiche, ad esempio, con lo stiramento. I topologi si chiedono invece se una forma sia connessa, se abbia buchi, se sia aggrovigliata e questo non solo nel nostro Universo, ma anche in spazi a più dimensioni, impossibili da visualizzare.

Fregio del cancello del dipartimento di matematica di Cambridge.

Il fregio mostra il problema dei sette ponti di Königsberg, uno dei primi studi topologici.

La topologia o studio dei luoghi (dal greco τοπος, luogo, e λογος, studio) è una delle più importanti branche della matematica moderna. Si caratterizza come lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione.

Per esempio un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere a nessuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione.

Immaginiamo di avvolgere una mela con un elastico (l’idea è stata suggerita da John Milnor, medaglia Fields e grande esperto di topologia) e poi di stringere lentamente l’elastico fino a ridurlo a un punto, senza strappi e senza mai staccarlo dalla superficie della mela. Proviamo poi ad avvolgere allo stesso modo una ciambella, sempre con un elastico, come indicato in figura. In questo caso, se non rompiamo l’elastico o la ciambella, non siamo in grado di ripetere l’operazione precedente, riducendo l’elastico a punto, senza mai staccarlo dalla superficie della ciambella.

Si dice per questo che la superficie della mela è “semplicemente connessa” mentre quella della ciambella non lo è.

Poincaré sapeva che una sfera comune, quella che i topologi chiamano 2-sfera, equivalente alla mela, era caratterizzata da questa proprietà della connettività semplice, anzi sapeva che la sfera era l’unica superficie chiusa per la quale fosse possibile realizzare con l’elastico, oppure con una qualsiasi curva chiusa disegnata sulla sfera, l’operazione che abbiamo appena descritto.

Nel passare poi allo studio delle sfere di dimensioni più elevate, le n-sfere, Poincaré pensava che valesse anche per la n-sfera questa proprietà e inoltre che la n-sfera fosse l’unica varietà chiusa a n dimensioni dotata di questa proprietà. Ma non riuscì a trovare una dimostrazione alla sua ipotesi, che rimase quindi a livello di congettura e diventò il problema più famoso della topologia, attorno al quale negli ultimi cent’anni si sono cimentati molti grandi matematici.

La congettura di Poincaré in sostanza afferma che non esiste una varietà tridimensionale in cui qualunque cammino chiuso sia riconducibile a un punto e che non sia assimilabile a una sfera. Ma è solo una congettura anche se di grande importanza perchè ipotizza la potenziale forma del nostro universo. Questa congettura è stata infine dimostrata da Perelman e la sua dimostrazione è legata ad un premio da un milione di dollari.

A questo punto Donal O’Shea dopo aver illustrato il tema su cui ruota l’intero libro, comunque difficile da cogliere nella sua essenza matematica, fa un passo indietro e riparte da Euclide e dalla sua geometria. E’ veramente molto bella e interessante la descrizione di queste pagine di storia della matematica che parte dagli “Elementi” di Euclide e arriva fino ai giorni nostri.

Tutto prende avvio dall’enunciato del quinto postulato di Euclide. Dice Donal O’Shea:

“ L’enunciazione del quinto postulato di Euclide ha dato grattacapi fin dal principio: se in un piano una retta, intersecando due altre rette, forma con esse da una medesima parte angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta. ”

La cosa interessante è che i primi quattro postulati vengono enunciati in meno di una riga.

1) E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

2) E’ possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.

3) E’ possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio qualsiasi.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.

Non così il quinto.

Pare che lo stesso Euclide non fosse soddisfatto e non volesse includerlo nel su elenco. Gli altri postulati sono chiari e facili da enunciare oltre che evidenti. Il quinto sembra complicato e disarmonico.

Donal O’Shea racconta in maniera mirabile ed avvincente la storia di tutti quei matematici che si son occupati del quinto postulato di Euclide fino ad arrivare alla nascita della geometria non euclidea. La storia è ricca di personaggi, aneddoti, particolari poco noti. Ci sono Filolao, Proclo, Aristotele, Tolomeo. Il problema nel corso dei secoli si amplia e ha come oggetto la somma degli angoli interni di un triangolo che in una geometria euclidea è pari a 180° e il problema delle rette parallele.

Il racconto dell’autore passa in rassegna secolo dopo secolo personaggi e teorie arrivando all’illuminismo con D’Alambert e Legendre, e poi Gauss e Lobacevskij le cui vite vengono raccontate in modo veramente documentato e interessante.

Si arriva al 1800 ed a Riemann. Anche il rapporto fra Gauss e Riemann viene indagato in modo avvincente. Il libro meriterebbe di essere letto magari solo per queste pagine di storia. Riemann diventa il nuovo punto fermo da cui far ripartire la storia della congettura di Poincaré. Riemann estende il concetto di spazio euclideo piatto ( quello cioè in cui la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180° ) anche alle n dimensioni. E’ bellissima la descrizione della lezione di abilitazione, necessaria per poter diventare professore all’università, tenuta da Riemann al cospetto del suo maestro, il severissimo Gauss. Viene descritto anche il lato umano sia di Gauss che di Riemann.

L’autore ci fa capire come Riemann con le sue idee avrebbe tenuto occupate nel futuro intere generazioni di matematici in tutto il mondo e vengono sottolineate le circostanze favorevoli, a volte casuali, che permisero a un intelletto così singolare di fiorire. Dobbiamo accettare, conclude Donal O’Shea, che una matematica così bella può svilupparsi anche a causa di una serie di eventi accidentali. Ma allora ci deve fare riflettere anche sapere che esistono centinaia di giovani di talento che non avranno occasione di esprimere appieno le loro potenzialità.

E si arriva finalmente a Klein e Poincaré la cui vita e il cui rapporto è raccontato ancora una volta in modo avvincente.

Di Poincaré viene tracciato un profilo completo. Si sottolinea come la complessità del suo pensiero ha toccato campi diversi. La piena comprensione delle sue teorie ha impegnato i matematici per oltre un secolo.

Per esempio nel 1887 il re di Norvegia e Svezia indisse un concorso per premiare la migliore opera sulla “matematica del sistema solare”. Poincaré presentò un saggio con cui vinse il concorso ma successivamente lui stesso trovò un errore nel suo lavoro e lo corresse. L’argomento trattato era nuovo per l’epoca e riguardava il “comportamento caotico”. Era in sostanza quello che noi oggi chiamiamo teoria del caos.

Poincarè fu candidato al premio Nobel per diversi suoi lavori almeno 49 volte che è un record tuttora imbattuto.

Declinò sistematicamente ogni impegno o coinvolgimento politico anche se fece parte della commissione che doveva vagliare alcune prove dell’affare Dreyfus.

Nel libro viene descritto l’intero percorso che seguì nello studio della geometria euclidea e non euclidea, degli spazi a n dimensioni, della topologia fino ad arrivare alla famosa congettura. A questo proposito lo stesso Poincaré scrive:

“Al fine di non allungare troppo questo lavoro mi limito ad enunciare il seguente teorema, la cui dimostrazione richiederebbe ulteriori sviluppi:

Ogni poliedro che abbia tutti i suoi numeri di Betti uguali a tutte le sue matrici Tq bilaterali è omeomorfo alla ipersfera.”

E così inizia la tortuosa storia della congettura di Poincaré che ha affascinato come il canto di una sirena generazioni di matematici. Indirettamente equivale a chiedersi che forma può avere l’universo. Dal punto di vista topologico il problema non è di facile comprensione. Potrebbe essere banalizzato così:

“L’universo è una varietà tridimensionale. Noi viviamo al suo interno. Se ogni ciclo tracciato al suo interno può essere ridotto ad un punto possiamo asserire che esso è una sfera?”

Ma non è solo per i suoi contributi in campo topologico che il matematico viene ricordato, anzi questo settore della ricerca costituì solo una piccola parte del suo lavoro.

Per darne una misura ricordiamo che solo meno di una decina degli oltre 500 articoli da lui scritti riguardano la topologia; nella presentazione dell’opera di Poincarè fatta da Jaques Hadamard (nella foto) solo 2 pagine su 85 fanno riferimento alla topologia e nell’elogio funebre scritto da Gastone Darboux meno di una pagina su 74.

Poincarè si interessò del problema della determinazione della longitudine, dell’adozione del sistema decimale per la misura del tempo, studiò l’ipotesi di usare la Torre Eiffel per inviare segnali orario sincronizzati, il precursore dell’odierno sistema GPS, siinteressò di fisica matematica e di meccanica celeste e spesso l’oggetto dei suoi studi fu la natura del tempo tanto che nel 1898 scrisse un articolo in cui si chiedeva se un secondo di oggi fosse uguale ad un secondo di domani e se avesse senso dire che due eventi in due luoghi diversi accadono veramente nello stesso momento. Si interessò anche di esperimenti che portavano alla conclusione che le distanze si contraggono nella direzione del moto. Tutto questo proprio quando nel 1905 il giovane A. Einstein si presentò al mondo scientifico con quattro articoli oggi diventati dei classici.

Il rapporto fra Poincarè e Einstein fu complesso. Si incontrarono una sola volta: Poincarè stimava tantissimo Einstein che invece lo considerava un vecchio reazionario ostinatamente aggrappato a concetti inutili come quello dell’etere. Molti oggi sono propensi ad attribuire a Poincarè la scoperta indipendente, o comunque un contributo determinante alla scoperta, della relatività speciale specie per alcuni suoi articoli sulla dinamica dell’elettrone. Comunque la sua idea di spazio fu sempre accompagnata da quella di tempo tanto che molti gli attribuiscono il merito di aver creato quell’oggetto matematico chiamato “spazio-tempo” a cui non erano applicabili semplicemente i concetti della geometria euclidea.

Poincarè si ammalò gravemente durante il congresso internazionale dei matematici del 1908. Dovette rallentare molto il suo lavoro di ricerca e di pubblicazione tanto che quando nel 1911 fu incoraggiato a pubblicare un suo articolo sulla dinamica degli elettroni e su un nuovo aspetto della topologia iniziò l’articolo con le seguenti scuse:

” Finora non ho mai presentato al pubblico un lavoro così incompiuto”

Quell’articolo gettava comunque le basi di un nuovo campo di ricerca, quello della topologia simplettica.

Nel 1912 morì in seguito anche alle complicazioni di un ulteriore intervento chirurgico.

A differenza di Riemann morì famoso e con molti ammiratori ma come Riemann senza discepoli tanto che molti dei suoi lavori poco dopo la sua morte non venivano ancora compresi.

Il libro continua con la descrizione del dopo Poincarè, di come faticosamente anche l’America si inserì nel panorama della speculazione scientifico matematica tanto da avere oggi un posto di riguardo, e della crescita della scuola russa. La lettura di questa parte è molto bella e interessante anche perchè riguarda ormai il nostro passato prossimo.

Come in un romanzo, si arriva tutto d’un fiato ai giorni nostri. Nel 2000 i coniugi, Landon e Lavinia Clay,ricchi filantropi americani, hanno sovvenzionato la fondazione di un istituto, il Clay Institute, dedicato al progresso e alla divulgazione del sapere matematico. Il comitato consultivo aveva deciso che per concretizzare il senso della missione che l’istituto si era prefissata bisognava identificare sette problemi matematici insoluti e offrire il premio di un milione di dollari per ognuna soluzione. La presentazione pubblica del progetto e dei sette problemi faceva eco a quella del 1900 a Parigi dove Hilbert aveva presentato un altro elenco di problemi, le sfide per il nuovo secolo. Non a caso durante l’incontro del 2000 fu fatta ascoltare la registrazione del discorso dello stesso Hilbert del 1930, uno degli ultimi, trasmesso all’epoca addirittura per radio, in cui il matematico con un commosso ma vigoroso intervento affermò la centralità del ruolo della matematica. In quel discorso Hilbert insistette anche sul concetto che non esistevano problemi irrisolvibili e concluse con la famosa frase:” Noi dobbiamo sapere, noi sapremo”.

Nel meeting del 2000 furono elencati i sette problemi da risolvere ed il primo fra tutti fu proprio la congettura di Poincarè. Il messaggio celato dietro tale scelta era chiaro: la soluzione della congettura è importante non solo per i matematici ma anche per tutti gli scienziati e per tutti noi.

Perelman si fa strada tra tutti nella soluzione del problema ma utilizza strumenti di comunicazione nuovi. Niente pubblicazioni, niente saggi o articoli, solo posta elettronica e un articolo su un sito www.arXiv.org un server on line utilizzato per lo scambio di articoli scientifici. Chi lesse quegli articoli commentò:”Questo è materiale da fantascienza”.

Quando Perelman comunicò di aver dimostrato la congettura lo fece al solito suo modo, schivo e enigmatico. Non lo ammise apertamente, sembrava quasi voler sminuire la portata del suo lavoro. Solo chi poteva permettersi di comprendere e giudicare il suo lavoro capì il significato profondo del suo annuncio. Ci furono subito dei problemi per l’assegnazione del premio a Perelman. L’inizio del nuovo millennio ha sancito un nuovo modo di lavorare della comunità scientifica. Gli organizzatori del premio del Clay Institute davano per scontato che ogni matematico avrebbe sottoposto i suoi risultati ad una rivista scientifica. Ciò era sancito anche nel regolamento per l’assegnazione del premio. Il lavoro pubblicato doveva poi essere vagliato per almeno due anni dalla comunità matematica mondiale. Perelman non pubblicò mai il suo lavoro se non su un sito web. Ma Perelman non era interessato al premio come lui stesso aveva dichiarato. Tra l’altro aveva iniziato a lavorare su questo argomento nel 1995 quindi molto prima che il premio venisse istituito. Il lavoro prodotto da Perelman è comunque molto complicato e delicato. Ci sono solo pochi individui al mondo in grado di comprenderlo e valutarlo. In ogni caso fino al 2005, due anni dopo la conferenza pubblica di Perelman, la sua dimostrazione della congettura reggeva ancora. Ma tutti erano ancora molto cauti. Nel giugno del 2006 iniziarono a diffondersi voci su internet secondo cui il lavoro di Perelman poteva presentare dei problemi. Sembrava che alcuni matematici cinesi avessero trovato dei difetti e avessero tentato di correggerli. Altri matematici si arrogarono la priorità nella risoluzione del problema. Si attese con ansia il congresso dei matematici del 2006 a Madrid. Molta incertezza regnava a riguardo della congettura e della sua soluzione. Sarebbe stata assegnata la medaglia Fields a Perelman?

Per riceverla bisogna avere meno di 40 anni e il matematico li aveva già compiuto a giugno. Ma soprattutto lui si sarebbe presentato per riceverla? E se lui l’avesse rifiutata il comitato Fields gliela avrebbe assegnata lo stesso?

Il mondo scientifico era in fermento, così come la stampa. Non si vedeva a Madrid una così grande concentrazione di scienziati dal 1581 quando si era deciso di trasferire la corte spagnola a Madrid. File di matematici passavano attraverso i metal detector e le loro borse venivano controllate, spostate anche le auto parcheggiate. La Spagna aveva da poco subito l’attentato di al-Qaida del 2004 che uccise più di 200 persone. L’atmosfera era tesa e vibrante. Il presidente dell’Unione Matematica Internazionale, Sir John Ball, apostrofò l’assemblea con parole forti e pesanti richiamando i matematici ad una professionalità di alto livello e all’integrità morale. Tra l’altro disse:

“Noi discutiamo del nostro lavoro con altre persone senza temere che ci venga rubato, ... , i risultati delle ricerche vengono apertamente comunicati prima della pubblicazione formale. ... il lavoro di un matematico conquistala fama per via del suo merito e no per come viene promosso.Le eccezioni sono rare e non passano inosservate.”

Il riferimento ai recenti fatti riguardanti la congettura erano espliciti.

Quando lo steso Ball (nella foto) annunciò in ordine alfabetico le quattro medaglie Fields la seconda era per Perelman. Ball interruppe gli applausi liberatori della platea dichiarando:

“Sono profondamente rammaricato che il dottor Perelman abbia declinato l’accettazione della medaglia Fields.”

Il matematico Richard Hamilton commentò il lavoro svolto da Perelman e il suo discorso era pieno di gratitudine e riconoscenza per il matematico russo. Fu dichiarato pubblicamente che Grigori Perelman aveva risolto la congettura di Poincarè, che ogni suo passaggio era stato accuratamente controllato. Fu reso noto anche che il Clay Institute accettava come forma di pubblicazione quella sulla home page dell’ Istituto stesso. A Perelman veniva conferito anche il premio da un milione di dollari. Ma di lui nessuna traccia. Al termine del congresso si seppe che il matematico aveva abbandonato la sua cattedra, era andato a vivere con sua madre, con una modesta pensione.

Questa incredibile storia, quasi un romanzo, ci insegna come nella ricerca scientifica tutti dipendiamo l’uno dall’altro. E’ vero: la matematica è frutto spesso del lavoro di singoli individui, ma i suoi risultati, i suoi concetti, i suoi teoremi appartengono a tutti noi. Chiunque abbia fatto le scuole elementari è in grado di risolvere problemi di algebra e aritmetica di fronte ai quali i più istruiti scribi babilonesi sarebbero rimasti impotenti. Chi ha seguito un corso di scuola superiore sul calcolo infinitesimale o di algebra lineare può risolvere questioni che Pitagora, Archimede e forse anche Newton non avrebbero saputo come affrontare. Uno studente laureando in matematica oggi è in grado di gestire calcoli topologici che Riemann e Poincarè non avrebbero potuto neanche iniziare. Significa forse che siamo noi più intelligenti di loro. No: solo che godiamo dei benefici del loro lavoro.

Lascio a Donal O’Shea e alle sue belle e incoraggianti parole la conclusione:

“Di notte, quando guardo in cielo le stelle più remote, le lontane galassie e i gruppi di galassie, trovo impossibile pensare che lassù, da qualche parte, non ci siano altre intelligenze, alcune profondamente diverse dalla nostra. Fra centinaia di anni, se mai svilupperemo le tecnologie che ci metteranno in grado di incontrare queste forma di vita e di comunicare con loro, scopriremo che esse sanno, o vogliono sapere, che l’unica varietà tridimensionale compatta in cui ogni ciclo può essere ridotto a un punto è la 3-sfera. Potete contarci!”

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